A cidade e os techumin como tábuas quadradas · הַמְרַבֵּעַ אֶת הָעִיר
Os sábios ensinaram numa baraita: Quem quadra a cidade para medir os seus limites faz dela uma espécie de tábua quadrada. E volta e quadra os techumin (os limites de Shabat), e faz deles também uma espécie de tábua quadrada.
“Quem quadra uma cidade” — isto é, uma cidade redonda.
“Fazem-lhe uma espécie de tábua quadrada” — adiante a guemará a situa numa cidade que é de duas mil amot por duas mil, em círculo; pois, quando lhe acrescentas um quadrado, eis que ela é como uma espécie de tábua quadrada, o seu comprimento como a sua largura. E os seus techumin são como uma espécie de tábua quadrada, o seu comprimento como a sua largura: a sua largura, segundo a medida da cidade ao longo da sua muralha, que é de duas mil amot; e assim o seu comprimento, adiante da cidade, é de duas mil. E é isso o que a baraita diz: “E volta e quadra os techumin”, isto é, volta e lhe mede os seus techumin, e forçosamente eles são quadrados.
A baraita retoma o modo de quadrar a cidade de Eruvin 56a (blocos 1985–1988) e a geometria do ibur de Eruvin 55a (blocos 1949–1950): antes de medir as duas mil amot do techum, a cidade redonda recebe cantos, isto é, é inscrita num quadrado, como já dizia a Mishná Eruvin 5:1, “fazem-na como uma espécie de tábua quadrada, para que ganhe os cantos” (Eruvin 53a, bloco 1845). Segundo o Rashi, trata-se de uma cidade redonda de duas mil amot de diâmetro, como a guemará estabelece adiante (bloco 1996): o quadrado acrescentado a faz uma tábua de duas mil por duas mil, e cada um dos quatro techumin, medido a partir de um lado da cidade, é também uma tábua de duas mil, ao longo do lado, por duas mil, para fora. “Volta e quadra os techumin” quer dizer, segundo o Rashi, que se medem os techumin e eles saem forçosamente quadrados. Um paralelo está na Tosefta Eruvin 4:13 (Lieberman; conferido): “ריבע את העיר ועשאה כטבלה מרובעת ועשה את תחומה כטבלה מרובעת”. O lema do primeiro comentário diz “המרבע עיר”, onde a guemará diz “הַמְרַבֵּעַ אֶת הָעִיר”; o do segundo diz “עושין לה”, no plural, onde a guemará diz “עוֹשֶׂה אוֹתָהּ”.
E, quando mede, não medirá a partir do meio do canto duas mil amot (côvados) em diagonal, porque assim perde as zaviyot (os cantos). Antes, traz uma tábua quadrada que é de duas mil amot por duas mil amot e a põe no canto, pela sua diagonal, alinhada com a diagonal do canto.
“E, quando mede” — os techumin da cidade, depois de tê-la quadrado, não medirá a partir do meio do canto, isto é, do ângulo da cidade, defronte dele, em diagonal, duas mil amot para cada canto, para depois estender um fio do techum deste canto ao techum daquele canto.
כיצד תן תחומין של אלף ותכ"ח אורך לכל צד כנגד העיר אתה צריך לתת טבלא של אלף ותכ"ח על אלף ותכ"ח לכל קרן למלאות פגימתן של אורך בריבוע שיהו התחומין מרובעין שהרי ריבוע פיאות לכל שובתי שבת ותמצא באלכסונו של טבלא מכוון כנגד אלכסון קרן העיר אלפים דקיימא לן כל אמתא בריבוע אמתא ותרי חומשי באלכסונה טבלא של אלף ותכ"ח על אלף ותכ"ח אלכסון שלה עודף אלפים ותתנ"ו חומשין שהן תקע"ב אמה פחות ד' חומשין תנם על אלף ותכ"ח הרי אלפים נמצא כשמדדת מאמצע קרן העיר באלכסון אלפים קיצרת את התחום ואינן אלא אלף ותכ"ח וכל כך למה מפני שהפסדת את הזויות שהיית צריך למדוד אלפים ואלכסונן מאמצע קרן העיר ולמתוח חוט אחרי כן מתחום קרן לתחום קרן ותמצא מן החוט ולעיר על פני כל העיר לכל צד אלפים אמה כיצד תן אלפים תחום כנגד העיר לארבע רוחותיה תמצא פגימת אלפים על אלפים לכל קרן ועדיין אתה צריך למתוח חוט כמין גאם להשוות תחומי הקרנות לתחומי העיר ותמצא לכל קרן טבלא של אלפים על אלפים ומכוון אלכסונה כנגד אלכסון קרן העיר ומהו אלכסונה אלפים ות"ת אמה שכך עולה חשבון ד' אלפים חומשין לח' מאות אמה לפיכך הבא למדוד תחומי העיר מביא טבלא רואה כאילו הביא טבלא שהיא אלפים על אלפים ומניחה כנגד העיר באלכסון אלכסון של טבלא כנגד אלכסון של קרן כלומר מודד אלפים וח' מאות כנגד הקרן באלכסון ואח"כ מותח חוט מתחום קרן לתחום קרן:“Porque perde as zaviyot” — em cada canto, perde aquilo em que a diagonal de duas mil por duas mil excede o quadrado do lado; e, quando estende o fio, não acharás no comprimento dos techumin, da cidade em diante, para cada lado, senão mil quatrocentas e vinte e oito amot. Como? Dá techumin de mil quatrocentas e vinte e oito amot de comprimento para cada lado, defronte da cidade: precisas dar uma tábua de mil quatrocentas e vinte e oito por mil quatrocentas e vinte e oito em cada canto, para preencher, em quadrado, a falha do comprimento, de modo que os techumin sejam quadrados, pois para todos os que repousam no Shabat se dá um quadrado de lados. E acharás, na diagonal da tábua, alinhada defronte da diagonal do canto da cidade, duas mil amot; pois estabelecemos como regra: toda amá no quadrado é uma amá e dois quintos na sua diagonal. Numa tábua de mil quatrocentas e vinte e oito por mil quatrocentas e vinte e oito, a sua diagonal excede o lado em dois mil oitocentos e cinquenta e seis quintos, que são quinhentas e setenta e duas amot menos quatro quintos; dá-os sobre mil quatrocentas e vinte e oito: eis duas mil. Acha-se então que, quando mediste a partir do meio do canto da cidade, em diagonal, duas mil, encurtaste o techum, e ele não tem senão mil quatrocentas e vinte e oito. E por que tudo isso? Porque perdeste as zaviyot: pois devias medir duas mil e a diagonal delas a partir do meio do canto da cidade, e depois estender um fio do techum de um canto ao techum do outro canto; e acharás, do fio até a cidade, ao longo de toda a cidade, para cada lado, duas mil amot. Como? Dá duas mil amot de techum defronte da cidade, nos seus quatro lados: acharás uma falha de duas mil por duas mil em cada canto; e ainda precisas estender um fio como uma espécie de gam (a letra grega gama), para igualar os techumin dos cantos aos techumin da cidade; e acharás, em cada canto, uma tábua de duas mil por duas mil, com a sua diagonal alinhada defronte da diagonal do canto da cidade. E qual é a sua diagonal? Duas mil e oitocentas amot, pois assim sobe a conta: quatro mil quintos dão oitocentas amot. Por isso, quem vem medir os techumin da cidade “traz uma tábua”: vê como se trouxesse uma tábua que é de duas mil por duas mil e a pusesse defronte da cidade, em diagonal, a diagonal da tábua defronte da diagonal do canto; isto é, mede duas mil e oitocentas defronte do canto, em diagonal, e depois estende um fio do techum de um canto ao techum do outro canto.
A guemará usa a regra que o próprio Rashi cita: a diagonal de um quadrado é o lado mais dois quintos, isto é, uma vez e quatro décimos o lado (o valor exato é cerca de 1,414). Quem medisse duas mil amot em diagonal a partir de cada canto da cidade quadrada, e depois ligasse com um fio as pontas dessas medidas, teria um techum menor que o devido: segundo o Rashi, as duas mil amot da diagonal são a diagonal de um quadrado de apenas mil quatrocentas e vinte e oito amot de lado (1.428 × 1,4 = 1.999,2, ou seja, cerca de duas mil), de modo que, defronte dos lados da cidade, o techum só teria mil quatrocentas e vinte e oito amot. O certo é medir duas mil amot para fora de cada lado da cidade e preencher o vazio de cada canto com um quadrado de duas mil por duas mil, cuja diagonal tem duas mil e oitocentas amot (2.000 × 1,4 = 2.800): é a “tábua” que a baraita manda pôr em cada canto, com a sua diagonal no prolongamento da diagonal da cidade. “Gam” é a letra grega gama, Γ, com que o Rashi descreve o fio que contorna o canto, como em Eruvin 55a (bloco 1950). O comentário vem no Sefaria com um desenho da cidade no meio, cercada pelos techumin, com as tábuas dos cantos e as suas diagonais, e as legendas em hebraico; reproduzimo-lo junto ao hebraico. A Tosefta Eruvin 4:13 (Lieberman; conferido) dá outra formulação: “אין מודד את האמצע, מפני שהו כמפסיד”, e manda medir duas mil amot a partir dos cantos nordeste e sudoeste. O lema do segundo comentário diz “מפני שמפסיד”, onde a guemará diz “מִפְּנֵי שֶׁהוּא מַפְסִיד”.
Acha-se que a cidade ganha quatrocentas amot para cá, neste canto, e quatrocentas amot para lá, naquele canto. Acha-se que os techumin ganham oitocentas amot para cá e oitocentas amot para lá. Acha-se que a cidade e os techumin juntos ganham mil e duzentas amot para cá e mil e duzentas para lá.
“Acha-se que a cidade ganha” — por termos quadrado-a, quatrocentas amot em cada canto; pois, quando era redonda, a cidade não tinha diagonal, e agora, que a quadramos, demos-lhe uma diagonal; e quem sai pelo canto ganha quatrocentas amot neste canto e quatrocentas amot naquele canto.
“Acha-se que os techumin dos cantos ganham” — por termos posto uma tábua em diagonal defronte do canto: oitocentas amot em cada canto.
As contas, pela regra da diagonal de uma vez e quatro décimos o lado: a cidade redonda tem duas mil amot de diâmetro em qualquer direção; quadrada, passa a ser um quadrado de duas mil de lado, cuja diagonal tem duas mil e oitocentas. Na linha da diagonal, a cidade cresce, portanto, oitocentas amot, quatrocentas em cada uma das duas pontas: é o que, segundo o Rashi, ganha quem sai pelo canto, já que a cidade redonda “não tinha diagonal”. O techum do canto, que seria de duas mil amot se medido em diagonal a partir do canto, passa a ser a diagonal da tábua de duas mil por duas mil, isto é, duas mil e oitocentas: ganha oitocentas em cada canto. Somados, a cidade e os techumin ganham mil e duzentas amot na direção de cada canto. Com o valor exato da diagonal, os números seriam cerca de 414, 828 e 1.243. O Rashi lê “para cá... para lá” como “neste canto... naquele canto”; a tradução de referência fala do canto oposto. A Tosefta Eruvin 4:13 (Lieberman; conferido) traz somente a primeira conta: “נמצאת העיר מושכרת ארבע מאות אמה אילך וארבע מאות אמה אילך”. O lema do segundo comentário diz “נמצאו תחומי הקרנות משתכרין”, onde a guemará diz “נִמְצְאוּ תְּחוּמִין מִשְׂתַּכְּרִין”.
Disse Abaye: E tu o encontras numa cidade que é de duas mil amot por duas mil amot.
Abaye diz em que cidade valem os números da baraita. O ganho dos techumin, oitocentas amot por canto, não depende do tamanho da cidade; mas o ganho da própria cidade, quatrocentas amot por canto, só é exato numa cidade de duas mil amot, pois a diferença entre a diagonal do quadrado e o diâmetro do círculo cresce com o tamanho da cidade. Segundo o Rashi (bloco 1993), Abaye fala de uma cidade redonda de duas mil amot de diâmetro, isto é, de duas mil “por” duas mil; a tradução de referência entende o mesmo. Não há comentário do Rashi nesta frase no Sefaria.
O migrash das cidades dos levitas · עָרֵי לְוִיִּם
Foi ensinado numa baraita: Disse Rabi Eliezer, filho de Rabi Yossi: O techum das arei leviim (cidades dos levitas) é de duas mil amot. Tira delas mil amot de migrash (a faixa aberta ao redor da cidade): acha-se que o migrash é um quarto, e o resto, campos e vinhas.
“Tira delas” — ao redor da cidade, mil amot para o migrash, onde não se planta nem se semeia, mas o deixam para a beleza da cidade, como o traduz o Targum: revchei karya (espaços abertos da cidade).
“Acha-se que o migrash é a quarta parte” — adiante a guemará o explica.
“E o resto” — o resto do techum são campos e vinhas; e fora do techum não tinham os levitas nada.
As cidades dos levitas são as cidades que a Torá manda dar à tribo de Levi, com campos abertos ao redor (Bamidbar 35:2–5; conferido). Ali há duas medidas: “desde o muro da cidade para fora, mil amot ao redor” (35:4) e “medireis fora da cidade... duas mil amot” (35:5). Na Mishná Sotá 5:3 (Sotá 27b; conferido), Rabi Akiva concilia os versículos dizendo que mil amot são o migrash e duas mil, o techum de Shabat, e Rabi Eliezer, filho de Rabi Yossi HaGlili, que mil amot são o migrash e duas mil, campos e vinhas. Na baraita da nossa guemará, Rabi Eliezer, filho de Rabi Yossi, diz que o techum é de duas mil amot, das quais as mil primeiras são o migrash; segundo o Rashi, o resto do techum são campos e vinhas, e fora dele os levitas não tinham nada. Assim também o Rashi sobre Bamidbar 35:4 (conferido): dão-se duas mil amot ao redor, as mil de dentro para o migrash e as de fora para campos e vinhas. O migrash é, segundo o Rashi, uma faixa em que não se planta nem se semeia, deixada para a beleza da cidade; o Targum Onkelos (Bamidbar 35:4; conferido) traduz “מִגְרְשֵׁי הֶעָרִים” por “רְוָחֵי קִרְוַיָּא”, os espaços abertos da cidade. Que o migrash seja “um quarto” é o que a guemará vai explicar nos blocos seguintes. O lema do segundo comentário diz “נמצא מגרש רביעי”, “a quarta parte”, onde a guemará diz “נִמְצָא מִגְרָשׁ רְבִיעַ”, “um quarto”.
De onde se tiram estas coisas? Disse Rava: Pois diz o versículo: “Desde o muro da cidade para fora, mil amot ao redor” (Bamidbar 35:4). Disse a Torá: Circunda a cidade com mil amot; acha-se que o migrash é um quarto.
“De onde estas coisas” — se tira que o migrash é de mil amot.
“Desde o muro da cidade etc.” — o início do versículo é: “E os campos abertos das cidades que dareis”.
O versículo é Bamidbar 35:4 (conferido): “וּמִגְרְשֵׁי הֶעָרִים אֲשֶׁר תִּתְּנוּ לַלְוִיִּם מִקִּיר הָעִיר וָחוּצָה אֶלֶף אַמָּה סָבִיב”. O Rashi lembra o início do versículo, onde está a palavra “מִגְרְשֵׁי”, para mostrar que as mil amot são a medida do migrash. Rava lê “ao redor” como “circunda a cidade com mil amot” por todos os lados, e daí conclui que o migrash é um quarto; como isso se calcula é o que a guemará pergunta em seguida.
Um quarto? Mas é metade! Disse Rava: Bar Adda, o mashocha’a (agrimensor), mo explicou: Encontras isso numa cidade que é de duas mil amot por duas mil. O techum, quanto é? Dezesseis quadrados de mil por mil. Os cantos, quanto são? Dezesseis. Tira oito dos techumin e quatro dos cantos para o migrash: quanto é? Doze.
“Bar Adda” — é o nome do homem.
“Mashocha’a” — é quem marca os techumin da cidade.
“Os techumin, quanto são? Dezesseis” — há neles dezesseis quadrados de mil por mil. Como? Há duas mil por duas mil para cada lado; divide-os no sentido da urdidura e da trama: eis quatro quadrados de mil por mil; e assim para cada lado da cidade.
“Os cantos, quanto são?” — os techumin dos cantos dos techumin também são dezesseis, pois em cada canto há uma tábua de duas mil por duas mil, como explicamos acima.
“Tira” — para a necessidade do migrash.
“Oito dos techumin e quatro dos cantos” — pois disseste: “Circunda a cidade com mil”: eis, para todo o techum, duas mil amot ao longo da cidade, no comprimento, e mil de largura adiante da cidade; e, já que deste mil de saliência do migrash para os quatro lados, precisas dar a cada canto uma tábua de mil por mil: eis quatro dos cantos para o migrash; eis doze para a necessidade do migrash, todos eles quadrados de mil por mil.
A objeção “é metade!” compara as medidas lineares: mil amot de migrash são a metade das duas mil do techum. Bar Adda mostra que, em área, a proporção é outra, e faz a conta em quadrados de mil por mil amot. A cidade, de duas mil por duas mil, tem quatro desses quadrados. Os techumin defronte dos quatro lados são quatro tábuas de duas mil por duas mil, cada uma com quatro quadrados, divididas, diz o Rashi, “em urdidura e trama”, isto é, em cruz: dezesseis. As tábuas dos quatro cantos (bloco 1994), de duas mil por duas mil, somam outros dezesseis. O migrash, uma faixa de mil amot ao redor da cidade, ocupa, defronte de cada lado, uma faixa de duas mil por mil, isto é, dois quadrados, oito ao todo; e, em cada canto, um quadrado de mil por mil, quatro ao todo: doze. A tradução de referência põe as mesmas contas em milhões de amot quadradas. O lema do terceiro comentário diz “תחומין כמה הוו”, onde a guemará diz “תְּחוּם כַּמָּה הָוְיָא”; o do quarto, “קרנות כמה הוו”, onde a guemará diz “הָוְיָין”; o do sexto, “ח׳ דתחומין וד׳ דקרנות”, em números, onde a guemará diz “תְּמָנְיָא דִתְחוּמִין וְאַרְבְּעָה דִקְרָנוֹת”. Grafamos “bar Adda” como os demais “Adda” do tratado.
Acha-se que o migrash é um quarto? São mais que um terço!
“Acha-se que o migrash é um quarto” — é dito em espanto.
Os techumin e os cantos somam trinta e dois quadrados de mil por mil, e o migrash ocupa doze deles: doze de trinta e dois é mais que um terço, e não um quarto. O Rashi marca que a frase “acha-se que o migrash é um quarto” é dita em espanto.
Traz os quatro quadrados da cidade e lança-os sobre eles (os trinta e dois). Ainda assim é um terço!
“Traz os quatro da cidade e lança-os sobre eles” — sobre os trinta e dois, e tornam-se trinta e seis; pois aquilo que a baraita ensina, “o migrash é um quarto”, refere-se à coisa toda: um quarto da conta inteira da cidade, dos techumin e dos cantos.
Segundo o Rashi, o “um quarto” da baraita se mede sobre todo o terreno dos levitas, a cidade incluída: aos trinta e dois quadrados dos techumin e dos cantos somam-se os quatro da cidade, e o total é trinta e seis, um quadrado de seis mil por seis mil amot. Mas doze de trinta e seis ainda é um terço.
Acaso pensas que a baraita fala a respeito de um quadrado? A respeito de um círculo é que fala, de uma cidade redonda.
A conta anterior supunha uma cidade quadrada, com o migrash também quadrado ao redor dela. A guemará responde que a baraita trata de uma cidade redonda, como também diz o Rashi no bloco 1993; o Rashi explica no comentário do bloco seguinte que o migrash ao redor dela também é redondo, enquanto o terreno dos levitas, com os techumin e os cantos, continua quadrado. Não há comentário do Rashi nesta frase no Sefaria.
Quanto o quadrado excede o círculo? Em um quarto. Tira um quarto deles: restam-lhes nove para o migrash. E nove de trinta e seis é um quarto.
“Quanto o quadrado excede o círculo? Um quarto. Tira um quarto dele etc.” — tu calculaste com uma cidade quadrada, e fizeste o migrash ao redor dela também em quadrado; por isso subiu a conta da cidade e dos seus migrashim a quatro mil por quatro mil, quadrados, que são dezesseis quadrados de mil por mil; e deles, três partes são para o migrash, e isso dá doze, e a quarta parte é para a cidade. Mas nós tratamos de uma cidade redonda, como a estabelecemos adiante; e, de todo modo, acrescentamos-lhe, para dar aos levitas, o quadrado com ela, e os seus cantos, e os techumin de duas mil para cada lado: eis a parte dos levitas, no total, seis mil por seis mil, que são trinta e seis quadrados de mil por mil. E a cidade, no meio deles, é redonda, de duas mil, e os seus migrashim ao redor dela, de mil de largura: acha-se que a cidade e os seus migrashim são quatro mil por quatro mil, redondos. E, se fossem quatro por quatro, quadrados, seriam dezesseis; agora, que são redondos, tira um quarto: são doze; e deles, três partes são para o migrash e a quarta para a cidade, de modo que lhes ficam nove de migrashim. E nove de trinta e seis, que são dados aos levitas, é um quarto.
“O quadrado excede o círculo em um quarto” supõe a razão de três para um entre a circunferência e o diâmetro: o círculo inscrito num quadrado ocupa três quartos dele, ou seja, o círculo é o quadrado menos um quarto do quadrado (com o valor exato, o círculo ocupa cerca de 78,5% do quadrado). É a mesma regra que o Rashi aplicou à cidade redonda em Eruvin 55a (bloco 1949): “o quadrado excede o círculo em um quarto”. Segundo o Rashi, a cidade redonda de duas mil amot de diâmetro, com o migrash de mil ao redor, forma um círculo de quatro mil amot de diâmetro; se fosse quadrado, teria dezesseis quadrados de mil por mil, e, redondo, tem doze; desses, três quartos são migrash, nove, e um quarto, três, é a cidade (o círculo de duas mil de diâmetro inscrito num quadrado de quatro). O terreno dos levitas continua sendo o quadrado de seis mil por seis mil, trinta e seis quadrados; e nove de trinta e seis é exatamente um quarto. A tradução de referência tira o quarto diretamente dos doze do migrash quadrado e chega também a nove; seguimos o Rashi, para quem o quarto se tira dos dezesseis da cidade com o migrash, e por isso deixamos “deles” sem especificar. Com o valor exato, o migrash seria cerca de 9,4 quadrados, pouco mais de um quarto. O lema do Rashi diz “יותר”, onde a guemará diz “יָתֵר”, e “דל ריבעא מיניה”, onde a guemará diz “דַּל רְבִיעַ מִינַּיְיהוּ”.
Abaye disse: Encontras isso também numa cidade que é de mil amot por mil. Os techumin, quanto são? Oito quadrados de mil por mil. Os cantos, quanto são? Dezesseis.
“Encontras isso também numa cidade que é de mil por mil” — e não contarás a cidade junto com eles; antes, “acha-se que o migrash é um quarto” refere-se aos techumin e aos cantos.
“Os techumin, quanto são? Oito” — oito quadrados de mil por mil; pois o techum, para cada lado, tem duas mil amot de comprimento adiante da cidade e mil de largura ao longo da cidade. E os cantos são dezesseis: pois, já que o comprimento dos techumin se estende duas mil para cada lado, precisas preencher a falha em cada canto com uma tábua de duas mil por duas mil.
Abaye propõe outra cidade, de mil por mil amot, e, segundo o Rashi, não conta a cidade no total: o “um quarto” se mede só sobre os techumin e os cantos. Defronte de cada lado, o techum é uma faixa de mil amot, ao longo da cidade, por duas mil, para fora: dois quadrados de mil por mil, oito ao todo. Os cantos continuam a ser tábuas de duas mil por duas mil, como no bloco 1994: dezesseis. A conta de Abaye continua em Eruvin 57a.