A Mishná · הַמִּשְׁנָה
Encerrando a Massechet: a geometria da incerteza — como localizar um único barril de dízimo esquecido dentro de uma grade de cem, cobrindo toda possibilidade com o menor número de barris tocados
Aquele que tinha dez fileiras de dez barris de vinho cada, e disse "a fileira externa, uma delas é dízimo", sem saber qual — retira dois barris na diagonal. "Metade da fileira externa, uma delas é dízimo", sem saber qual — retira quatro barris dos quatro cantos. "Uma fileira é dízimo", sem saber qual — retira uma fileira na diagonal. "Metade de uma fileira é dízimo", sem saber qual — retira duas fileiras na diagonal. "Um barril é dízimo", sem saber qual — retira de cada barril.
מִי שֶׁהָיוּ לוֹ עֶשֶׂר שׁוּרוֹת שֶׁל עֶשֶׂר עֶשֶׂר כַּדֵּי יַיִן, וְאָמַר, שׁוּרָה הַחִיצוֹנָה אַחַת מַעֲשֵׂר, וְאֵין יָדוּעַ אֵיזוֹ הִיא, נוֹטֵל שְׁתֵּי חָבִיּוֹת לוֹכְסָן. חֲצִי שׁוּרָה הַחִיצוֹנָה אַחַת מַעֲשֵׂר, וְאֵין יָדוּעַ אֵיזוֹ הִיא, נוֹטֵל אַרְבַּע חָבִיּוֹת מֵאַרְבַּע זָוִיּוֹת. שׁוּרָה אַחַת מַעֲשֵׂר, וְאֵין יָדוּעַ אֵיזוֹ הִיא, נוֹטֵל שׁוּרָה אַחַת לוֹכְסָן. חֲצִי שׁוּרָה אַחַת מַעֲשֵׂר, וְאֵין יָדוּעַ אֵיזוֹ הִיא, נוֹטֵל שְׁתֵּי שׁוּרוֹת לוֹכְסָן. חָבִית אַחַת מַעֲשֵׂר, וְאֵין יָדוּעַ אֵיזוֹ הִיא, נוֹטֵל מִכָּל חָבִית וְחָבִית:
Fontes da Torá · מְקוֹרוֹת בַּתּוֹרָה
A última Mishná do tratado leva a lógica combinatória da separação de dízimos ao seu limite: como garantir, com o mínimo de barris tocados, que o barril esquecido — de localização desconhecida — seja necessariamente incluído.
Vayikrá (Levítico) 27:30
וְכָל מַעְשַׂר הָאָרֶץ מִזֶּרַע הָאָרֶץ מִפְּרִי הָעֵץ לַה' הוּא, קֹדֶשׁ לַה'.
"E todo dízimo da terra, da semente da terra, do fruto da árvore, pertence ao Senhor; é sagrado para o Senhor."
Por que esta Mishná não tem fonte bíblica direta. A obrigação de dizimar é bíblica, mas o problema geométrico-combinatório tratado aqui — como localizar com certeza um único barril "fixado" como dízimo dentro de uma grade de cem barris organizados em dez fileiras de dez, sem saber qual fileira ou qual barril foi designado — é engenhosidade puramente rabínica. A solução da Mishná explora a estrutura da grade: um barril no canto de uma fileira externa pertence simultaneamente a duas fileiras externas (a que corre num sentido e a que corre no outro), de modo que dois barris nos cantos opostos da diagonal já cobrem, entre os dois, todas as quatro fileiras externas possíveis. Da mesma forma, ao retirar uma fileira inteira na diagonal (dez barris, um de cada fileira e de cada coluna), garante-se que, qualquer que seja a fileira designada, um de seus dez barris estará entre os retirados. Esta é a última Mishná de Massechet Demai, encerrando o tratado com o caso mais complexo de incerteza física tratado em toda a obra.
Halachot · הֲלָכוֹת
Como esta Mishná foi codificada em lei prática pelo Rambam.
Rambam · Mishné Torá, Hilchot Maasser 8:7–9
מִי שֶׁהָיוּ לוֹ עֶשֶׂר שׁוּרוֹת שֶׁל עֶשֶׂר עֶשֶׂר כַּדֵּי יַיִן וְקָבַע כַּד אֶחָד מִשּׁוּרָה הַחִיצוֹנָה מַעֲשֵׂר עַל מָקוֹם אַחֵר וְאֵין יָדוּעַ אֵי זוֹ שׁוּרָה הַחִיצוֹנָה הִיא, נוֹטֵל שְׁתֵּי חָבִיּוֹת בַּאֲלַכְסוֹן וּמְעָרֵב שְׁתֵּיהֶן וּמַפְרִישׁ מֵהֶן. קְבָעָהּ בַּחֲצִי שׁוּרָה הַחִיצוֹנָה וְאֵין יָדוּעַ אֵי זוֹ חֲצִי שׁוּרָה הִיא, נוֹטֵל אַרְבַּע חָבִיּוֹת מֵאַרְבַּע זָוִיּוֹת. קְבָעָהּ בְּשׁוּרָה אַחַת מֵהֶן וְאֵין יָדוּעַ אֵי זוֹ שׁוּרָה הִיא, נוֹטֵל שׁוּרָה אַחַת בַּאֲלַכְסוֹן. קְבָעָהּ בַּחֲצִי שׁוּרָה וְאֵין יָדוּעַ אֵי זוֹ חֲצִי שׁוּרָה הִיא, נוֹטֵל שְׁתֵּי שׁוּרוֹת בַּאֲלַכְסוֹן. קָבַע הַמַּעֲשֵׂר בְּכַד אַחַת מֵהֶן וְאֵין יָדוּעַ אֵי זוֹ הִיא, נוֹטֵל מִכָּל כַּד וְכַד מִן הַמֵּאָה וּמְעָרֵב וּמַפְרִישׁ כְּדֵי כַּד אַחַת וּמְעַשֵּׂר:
Aquele que tinha dez fileiras de dez barris de vinho cada e fixou um barril da fileira externa como dízimo sobre outro lugar, sem saber qual fileira externa é: retira dois barris na diagonal, mistura ambos e separa deles. Se fixou em metade da fileira externa, sem saber qual metade: retira quatro barris dos quatro cantos. Se fixou numa fileira, sem saber qual: retira uma fileira na diagonal. Se fixou em metade de uma fileira, sem saber qual: retira duas fileiras na diagonal. Se fixou o dízimo num barril, sem saber qual: retira de cada barril dos cem, mistura, e separa a medida de um barril, e dizima.
O Rambam reproduz a Mishná quase literalmente, mantendo a estrutura combinatória exata de cada caso — a solução geométrica da diagonal e dos cantos é tratada como halachá prática, não apenas como curiosidade matemática.
Perush — os Mefarshim · הַמְּפָרְשִׁים
O que os grandes comentadores dizem sobre esta Mishná.
Rambam · פֵּרוּשׁ הַמִּשְׁנָה
Comentário à Mishná, Demai 7:8
הָעִנְיָן הָרִאשׁוֹן וְהוּא שֶׁאָמַר שׁוּרָה הַחִיצוֹנָה אַחַת מַעֲשֵׂר, רוֹצֶה לוֹמַר שֶׁהוּא נָתַן חָבִית אַחַת מַעֲשֵׂר וְהֶחָבִית הַהִיא בַּשּׁוּרָה הַחִיצוֹנָה, וְהַשּׁוּרוֹת הַחִיצוֹנוֹת הֵם ד', וְיִקַּח שְׁתֵּי חָבִיּוֹת מִקְצָת הָאֲלַכְסוֹן בִּשְׁבִיל שֶׁכָּל אַחַת מֵהֶן מִשְׁתַּתֶּפֶת עִם שְׁתֵּי שׁוּרוֹת, וִימַלֵּא מִשְּׁתֵּיהֶן חָבִית אַחַת וְתִהְיֶה מַעֲשֵׂר. וְאִם אָמַר חָבִית אַחַת מֵחֲצִי שׁוּרָה הַחִיצוֹנָה מַעֲשֵׂר, יִקַּח ד' חָבִיּוֹת מִד' זָוִיּוֹת, מִפְּנֵי שֶׁכָּל אַחַת מֵהֶן מְשֻׁתֶּפֶת מִשְּׁנֵי מַחֲצִיּוֹת שֶׁל שְׁתֵּי שׁוּרוֹת מִן הַשּׁוּרוֹת הַחִיצוֹנוֹת, וִימַלֵּא מִכָּל אַחַת מֵהֶן חָבִית אַחַת.
O primeiro caso é quando disse "a fileira externa, uma é dízimo" — ou seja, fixou um barril como dízimo, e esse barril está na fileira externa, sendo as fileiras externas quatro ao todo. Toma-se dois barris de partes da diagonal, pois cada um deles participa simultaneamente de duas fileiras (a que corre num sentido e a que corre no outro), e completa-se, a partir de ambos, a medida de um barril, que será o dízimo.
E se disse "um barril de metade da fileira externa é dízimo", toma-se quatro barris dos quatro cantos, pois cada um deles participa de duas metades de duas fileiras externas diferentes; e completa-se de cada um deles um barril.
Bartenura · בַּרְטְנוּרָא
Comentário à Mishná, Demai 7:8
עֶשֶׂר שׁוּרוֹת שֶׁל עֶשֶׂר עֶשֶׂר כַּדֵּי יַיִן. מְסֻדָּרִים בָּאָרֶץ, שֶׁבְּכָל עִנְיָן שֶׁתִּמְנֶה, בֵּין מִמִּזְרָח לְמַעֲרָב בֵּין מִצָּפוֹן לְדָרוֹם, תִּמְצָא עֶשֶׂר שׁוּרוֹת שֶׁל עֶשֶׂר עֶשֶׂר שֶׁהֵן מֵאָה כַּדּוֹת. שׁוּרָה הַחִיצוֹנָה אַחַת מַעֲשֵׂר. חָבִית אַחַת שֶׁבַּשּׁוּרָה הַחִיצוֹנָה קָבַעְתִּי מַעֲשֵׂר עַל כַּדּוֹת אֲחֵרוֹת שֶׁיֵּשׁ לִי. וְאֵין יָדוּעַ אֵיזוֹ. חִיצוֹנָה, שֶׁהֲרֵי יֵשׁ כָּאן אַרְבַּע שׁוּרוֹת חִיצוֹנוֹת לְאַרְבַּע רוּחוֹת. נוֹטֵל שְׁתֵּי חָבִיּוֹת בַּאֲלַכְסוֹן. אַחַת לְמִקְצוֹעַ דְּרוֹמִית מִזְרָחִית וּשְׁנִיָּה לָהּ בְּמִקְצוֹעַ מַעֲרָבִית צְפוֹנִית, שֶׁכָּל חָבִית שֶׁבַּמִּקְצוֹעַ נִמְנֵית לִשְׁתֵּי רוּחוֹת, וִימַלֵּא מִשְּׁתֵּיהֶן חָבִית אַחַת וְתִהְיֶה מַעֲשֵׂר.
"Dez fileiras de dez barris de vinho": organizados no chão, de modo que, seja como se contar — de leste a oeste ou de norte a sul — sempre se encontram dez fileiras de dez, totalizando cem barris.
"A fileira externa, uma é dízimo": um barril que está na fileira externa, nele fixei o dízimo sobre outros barris que tenho.
"E não se sabe qual": externa, pois há aqui quatro fileiras externas, uma para cada direção.
"Retira dois barris na diagonal": um no canto sudeste e outro no canto noroeste, pois todo barril de canto conta para duas direções; e completa-se, de ambos, um barril, que será o dízimo.
Massechet Demai não possui Guemará no Talmud Bavli — é um dos tratados da Ordem de Zeraim sem comentário talmúdico babilônico (com exceção de Berachot), restando apenas o Talmud Yerushalmi e a Tosefta. Por isso, o comentário de Rashi é omitido nesta e em todas as demais mishnayot deste tratado.
סְלִיק מַסֶּכְתָּא דְּמַאי
Aqui se conclui Massechet Demai — os sete perakim, cinquenta e três mishnayot, sobre a instituição rabínica do produto duvidoso quanto ao dízimo, desde a distinção entre os frutos leniente e o alcance do decreto (Perek Alef) até a geometria da incerteza na localização de um único barril esquecido entre cem (Perek Zayin).